Контрольные вопросы и задания. Портфельная теория марковица Родоначальником портфельной теории является

Возможно, Вы не знали, что доходы, которые можно получить при портфельном управление в несколько раз превышают банковские проценты, а риски - при взвешенном просчитанном подходе - практически на том же уровне. Это в полном смысле «золотое дно» только начинает разрабатываться в нашей стране, хотя уже давно изучено в Европе и Америке. С уверенностью можно предсказать в ближайшие годы взрыв активности страховых и инвестиционных компаний, пенсионных фондов и банков в данной области.

Читатель, наверное, уже где-то слышало об инвестиционных портфелях. Если так, то это статья расширит Ваши представления об этом финансовом инструменте.

Важное место в технологии портфельного инвестирования занимают статистические методы. На практике математические модели редко применяются для работы с российскими акциями. Причиной тому является низкая эффективность использования математического аппарата в условиях нестабильности. Однако, с постепенной нормализацией политической и экономической ситуации в России актуальность портфельного инвестирования на основе статистических методов будет возрастать. И это уже сейчас происходит.

Среди математических моделей выделяют модели, решающие задачи оптимального формирования портфеля и прогнозирования. Вместе мы рассмотрим методологию построения оптимизационной модели на основе теории Марковица.

Во второй половине двадцатого века господствовала идея о том, что портфель созданный из рисковых активов априори имеет высокий риск. В 1959 г. Марковицем была предложена математическая схема выбора оптимальных портфелей, концентрирующая внимание на поведении портфеля, а не его составляющих. Она коренным образом изменила точку зрения на инвестиционный процесс.

Основной задачей в процессе оптимального формирования портфеля ценных бумаг, является распределение инвестором определенной суммы денег по различным альтернативным вложениям. В общем случае задача оптимизации портфеля состоит в выборе такого распределения средств между активами, при котором происходит максимизация прибыли при заданных ограничениях на уровень риска.

Читатель в этой статье встретит слова «эффективный» и «оптимальный» портфели. Под эффективным понимается портфель, удовлетворяющий требованиям минимального риска и максимального дохода. Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелем будет наиболее предпочтительный из них. Предпочтения инвестора - это отношения к риску и ожидаемой доходности вложений. Инвестору часто приходится сталкиваться с выбором рисковых активов, т.е. активов доходность которых в будущем не определена. Кстати, как показывает практика риск актива обратно пропорционален его доходности.

Теперь мы готовы рассмотреть, как измеряется ожидаемая доходность и риск активов, а также ожидаемая доходность портфеля, состоящего из рисковых активов.

Формула доходности инвестиционного портфеля имеет вид:

где Rр - доходность портфеля р за период;

Rg - доходность актива g за период;

wg - вес актива g в портфеле (т.е. доля рыночной тоимости актива g в общей рыночной стоимости всего портфеля);

G - число активов в портфеле.

Пример 1

Пусть инвестиционный портфель состоит из акций ЛУКОЙЛа (20%), Сбербанк (40%) и Мосэнерго (40%) при соответствующей недельной доходности 0,93%, 1,81% и 1,6%. Тогда недельная доходность портфеля будет равна Rр = 0,2*0,93+0,4*1,81+0,4*1,6= 1,55%

Представленная выше формула показывает, что доходность портфеля, состоящего из G активов (Rp), равна сумме всех взвешенных доходностей отдельных активов, входящих в портфель.

Для удачно ведения портфеля, инвестору важно знать его ожидаемую доходность. Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенная сумма ожидаемых доходностей активов, входящих в портфель. При этом вес ожидаемой доходности каждого актива определяется как доля рыночной стоимости отдельного актива в общей рыночной стоимости портфеля.

Ожидаемая доходность рискового актива вычисляется следующим образом. Сначала задается распределение вероятностей для возможных значений реализованной доходности. Распределение вероятностей - это функция, сопоставляющая каждое возможное значение доходности и вероятности его реализации. При заданном распределении вероятности ожидаемое значение случайной величины есть взвешенное среднее ее возможных значений, причем роль весов играет вероятность реализации этих значений. Математически ожидаемая доходность актива выражается следующим образом:

где r n - n-е возможное значение доходности i-го актива;
р n - вероятность реализации значения доходности п для i-го актива;
N - число возможных значений доходности.

Пример 2

Пусть проведено 100 измерений доходности акции Мосэнерго-3 в 20 случаях она составила 3,5%, в 15 - 2,6% и в 65 случаях была 1%. Тогда математическое ожидание доходности по акции Мосэнерго-3 буде Е(Ri)=3,5*0,2+2,6*0,15+0,65*1=1,74%.

В толковых словарях риск определяется как «подверженность опасности, убыткам, потерям и т.п.». В инвестиционной деятельности понятие риска трансформировалось и стало определяться как вариация или дисперсия доходности актива (меры возможных отклонений от среднего значения). В результате риск получил количественное значение. Заслуга в этом принадлежит Марковицу, который на основе статистического понятия риска создал свою двухпараметрическую модель инвестиционного портфеля.

Формула для определения вариации доходности n-го актива записывается следующим образом:

Пример 3

Найдем риск получения средней доходности 1,74% за неделю по акции Мосэнерго-3. Для этого рассчитаем вариацию доходности var(Ri)=0,2*(3,5-1,74)2+0,15*(2,6-1,74)2+0,65*(1-1,74)2=1,0864.

Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого отклонения, т.е. она указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доходность как среднюю по всем возможным значениям. Это обстоятельство и позволило Марковицу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.

Вариация имеет размерность квадрата измеряемой величины, для удобства ее преобразовывают в стандартное отклонение, путем извлечения квадратного корня. В результате получается величина, имеющая ту же размерность, что и доходность

Кстати, наш фондовый рынок еще не достаточно развит и поэтому использование статистических методов имеет свои ограничения. В частности, на ММВБ, на конец 1 квартал 2002 года, существовало всего 17 акций с историческими данными глубиной более двух лет. Иначе говоря, найти ожидаемую доходность и риск с большей долей достоверности можно только на семнадцати акциях из 54 активно торгуемых на ММВБ. Если не учитывать облигации, то узость возможного применения теории Марковица станет еще более очевидна. Выход из данной ситуации использование данных с РТС, но они имеют тоже свои ограничения, связанные с нерегулярностью проходящих сделок. На рисунке 1 представлен график доходности и риска по 16 акциям с достаточными историческими данными. На нем не уместилась привилегированная акция Самарэнерго второго выпуска из-за высокой недельной доходности за двухлетний период.

Рис. 1. Взаимосвязь недельной доходности и риска 16 акций по данным за 2 года

Как было указано выше формула определения вариации дает вариацию отдельного актива. Найти вариацию портфеля из двух активов не намного сложнее. Она зависит не только от вариации двух активов, но и от «степени согласованности» в поведении доходностей активов.

Уравнение имеет вид:

где cov(R i R j) - ковариация доходностей активов i и j.

Смысл выше указанного уравнения состоит в том, что вариация доходности портфеля равна взвешенной сумме взвешенных вариаций доходностей двух активов и их ковариации.

Понятие ковариации еще не встречалось в наших обсуждениях. Это - математический термин. В данном контексте он означает степень взаимосвязи доходностей двух активов. Для измерения ковариации нет таких специальных единиц, как, например, доллары или проценты. Положительная ковариация означает, что доходности обоих активов изменяются (в среднем) в одном направлении, а отрицательная - в противоположном. Ковариация двух активов рассчитывается при помощи следующей формулы:

где r in - n-е возможное значение доходности актива i;

r jn - п-e возможное доходности актива j;

p n - вероятность реализации n-го значения доходности для активов i, j;

N - число возможных значений доходности.

Понятие корреляции между доходностями активов аналогично понятию их ковариации. Корреляция доходностей активов i и j определяется как ковариация двух активов, деленная на произведение их стандартных отклонений.

Существенного различия между терминами «корреляция» и «ковариация» нет. Деление ковариации на результат стандартного отклонения просто нормирует ковариацию, превращая ее в безразмерный показатель - коэффициент.

Коэффициент корреляции принимает значение в промежутке от -1 до +1. При этом значение, равное +1, отражает полное совпадение направления движения, а -1 означает полное несовпадение.

Таблица 1. Данные по корреляции 17 акций между собой

Интересные данные представлены в таблице 1, где показана взаимозависимость 17 акций торгуемы на ММВБ. Если присмотреться, то найдется всего несколько акций с отрицательной корреляцией. На их основе можно построить эффективные портфели Марковица.

В практике составления инвестиционного портфеля оценка ожидаемого значения, стандартного отклонения, ковариации и корреляции получается, исходя из статистических наблюдений за доходностью.

В общем виде вариация портфеля из G активов такова:

Поскольку вариация портфеля зависит от ковариации составляющих его ценных бумаг, несмотря на то, что риск отдельных активов может быть достаточно велик, риск самого портфеля можно снизить.

Технология создания эффективного портфеля из обширных групп ценных бумаг требует большого количества расчетов. Для портфеля из G акций требуется рассчитать (G2 - G)/2 ковариации. Поэтому для портфеля всего из 50 акций нужно подсчитать 1224 ковариации, а для 100 акций - 4950. Для нахождения портфелей с минимальным риском используются методы квадратичного программирования и соответствующее программное обеспечение. Обсуждение этих моделей выходит за рамки данной статьи. В нашем случае из 17 акций получится 136 ковариаций. Эффективные портфели из трех наиболее подходящих активов можно составить подбирая акции интуитивно. В результате получилось два инвестиционных портфеля. Они представлены в таблице 2.

Таблица 2. Эффективные инвестиционные портфели, составленные по теории Марковица

При сопоставление данных рисунка 1 и таблицы 2 логично сделать вывод, что эффективные портфели Марковица обеспечивают высокую доходность при среднем риске. Оптимальный портфель, из указанных выше, пусть инвестор выберет самостоятельно.

Итак, основа стратегии диверсификации Марковица - это уровень ковариации доходностей активов портфеля. Заслуга Марковица в разработке инвестиционной теории состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Общее сочетание определенных моделей и подходов, основанных на различных экономических и математических принципах в сочетании с конкретными условиями формирования портфеля, позволяющее соотнести состав и структуру портфеля с требованиями, предъявляемыми инвестором – все это можно назвать портфельной теорией.

В некоторых условиях возникает необходимость осуществления сразу нескольких инвестиций. Возникает необходимость обоснования принимаемых решений, для анализа которых и используется современная портфельная теория . Благодаря этой теории возникает возможность выявить наиболее подходящие инвестиционные активы с учетом различных факторов, таких как: личные предпочтения инвестора, ситуация на рынке, перспективы и личных финансовых возможностей.

Помимо базовых элементов, существует комплекс процедур, алгоритмов и методик, которые позволяют воспользоваться ими, как отдельными инструментами при анализе.

Основные элементы классической портфельной теории

Ими являются:

Конструирование инвестиционного портфеля

В процессе конструирования определяется состав и структура формируемого портфеля. Начальным этапом конструирования является первичный отбор активов. При отборе, в первую очередь, опираются на доступность активов для инвестора. А также учитываются все ограничения, в том числе и законодательные. После того, как был проведен отбор, основанный на исключении активов, инвестирование которых не допустимо по различным причинам и параметрам, производится вторичный отбор. Во время вторичного отбора исключаются инвестиционные активы, которые не подходят уже по более узким параметрам.

Таким образом, основной информацией для проведения первичного отбора является статус инвестора и объем его финансовых ресурсов, срочность инвестирования, доступность подходящих активов. Вторичный отбор включает в себя более личные и субъективные требования.

Существует оптимальный алгоритм, согласно классическим портфельным теориям. Он представляет собой первоначальную процедуру сегментации или разделения инвестиционного фонда между активами, соблюдая определенные пропорции и дальнейшего комбинирования портфеля в соответствии с проведенным анализом активов одного типа. Комбинирование является одним из самых ключевых моментов во всей портфельной теории, поскольку благодаря ему производится выбор наиболее выгодного сочетания активов.

Оценка инвестиционных качеств активов и портфелей

Это вспомогательный элемент, который обеспечивает исходные данные для последующей оптимизации инвестиционного портфеля. Оценка качеств включает в себя большое количество различных отдельных методик, с помощью которых можно оценить отдельные качества активов, такие как:

б) доходность;

в) активов.

Все это позволяет, как оценить в целом, так и отдельные его активы. Причем при проведении анализа качества и показатели для всех активов должны быть одни и те же.

Благодаря такой многофакторности появляется возможность оценки каждого сложного параметра отдельными частными показателями.

Оценка эффективного портфельного инвестирования

Производится после непосредственного формирования портфеля. На основании этой оценки принимается решение о продолжении инвестирования, реструктуризации портфеля, об изменении параметров либо же о ликвидации инвестиционного портфеля. Производится такая оценка на основании достижения поставленных инвестором целей или на сравнительном анализе дохода или полученного результата.

Ограничения

При формировании портфельной теории должны учитываться следующие ограничения:

Ограниченный объем финансовых ресурсов в распоряжении менеджера. Состав этих ресурсов может состоять как исключительно из средств инвестора, так и с привлечением заимствований.
Неограниченность параметров, по которым производится оценка активов.
Ставка по без рисковым заимствованиям выше, чем ставка по вложениям.
Минимизация рисковых факторов при стремлении к максимизации прибыли. Однако в некоторых случаях к отдельным рисковым факторам инвесторы могут оказаться нечувствительны.
В течение всего срока существования портфеля его структура остается неизменной.
Все сделки совершаются инвесторами по рыночным ценам.

В классической портфельной теории существует бесспорное предположение о наличии у инвестора финансовых ресурсов в некотором объеме. Однако, этот вопрос может быть весьма спорным, поскольку теоретически формирование портфеля исключительно из заемных средств возможно. Да и на практике подобный случай маловероятен. Объем заимствованных ресурсов остается ограниченным даже с учетом наличия права у инвестора использовать заемные средства или у менеджера – привлечения дополнительных ресурсов.

Во второй половине XX в. в экономике развитых стран произошли радикальные изменения, обусловленные бурным наращиванием инвестиций, в частности портфельных. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору финансовых инструментов (иностранная валюта, акции и облигации предприятий, государственные облигации) добавился постоянно растущий список новых "производных" инструментов: депозитарные расписки, фьючерсы, опционы, варранты, индексы, свопы и тому подобное. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и тонкие стратегии управливня доходностью и риском финансовых сделок, отвечающие индивидуальным потребностям инвесторов, требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке.

Традиционный подход в инвестировании, что преобладал до появления современной теории портфельных инвестиций, имел два существенных недостатка:

1) основное внимание уделялось анализу поведения отдельных активов (акций, облигаций);

2) основной характеристикой активов в нем была исключительно доходность, тогда как другой фактор - риск - не получал четкой оценки при инвестиционных решениях.

Нынешний уровень разработки теории портфельных инвестиций преодолевает эти недостатки. Формированием подходом фактически завершился длительный период (еще с конца 20-х годов XX в.), Названный в финансовой теории первичным этапом развития теории инвестиций.

Современную теорию портфельных инвестиций начал экономист Г.-м. Мар-ковиц в небольшой статье "Выбор портфеля" 1. В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг и методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, он показал, как инвестор может снизить риск путем выбора портфеля для комплектации некоррелированных акций.

Основной заслугой Г.-м. Марковица е предложена в статье теорети-ко-вероятностная формализация понятия доходности и риска. В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используют распределение вероятностей. Ожидаемую доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Марковой, Гарри-Макс родился в. Чикаго в 1927 году. Закончил Чикагский университет. Изучал экономическую теорию. Работал в Комиссии Коулза при Чикагском университете, исследователем в фирме "RAND Corp.", позже - занимал должность технического директора "Consolidated Analysis Centres Ltd.", возглавлял исследовательскую группу в "ИБМ", был вице-президентом Института наук управления, профессором Калифорнийского и с 1982 г.. - Нью-Йоркского университетов.

Один из родоначальников теории финансов, известный специалист по компьютерному программированию. В 1982 г.. Был избран президентом Американской финансовой ассоциации.

Член Американской академии искусств и наук, почетный профессор Нью-Йоркского университета. Лауреат Нобелевской премии (1990).

Результаты исследований Г.-м. Марковица позволили перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии точную математическую речь. Именно ресничка первым привлек внимание к общепринятой практике диверсификации портфелей и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение доходности портфеля, выбирая акции, цены на которые меняются по-разному. С математической точки зрения, полученная оптимизационная стратегия относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. До вместе с задачами линейного программирования, это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое количество эффективных алгоритмов.

Марковиц продолжил разработку основных принципов формирования портфеля. Они послужили основой для многих работ, описывающих связь между риском и доходностью. Однако его труда не привлекли особого внимания со стороны экономистов-теоретиков и практиков. Для 50-х годов XX в. применение теории вероятности к финансовой теории было достаточно необычным. Низкий уровень вычислительной техники и сложность предложенных ученым алгоритмов, процедур и формул не позволили фактически реализовать его идеи. Заслуги ученого были оценены значительно позже.

Влияние портфельной теории Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х - начале 60-х годов XX в. работ Дж. Тобина на аналогичную тематику. Между подходами двух экономистов е некоторые отличия. Подход Марковица лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку он подчеркивает поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же изначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций, то есть рисковых активов.

Дж. Тобин также предложил включить в анализ безрисковые активы, например, государственные облигации. Его подход по сути макроэкономический, поскольку основным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и неналичную (в виде ценных бумаг). Отмечал Г.-м. Марковиц не в экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В подходе Дж. Тобина основной темой становится анализ факторов, стимулирующих инвесторов формировать портфели активов, а не держать капитал в какой-то одной, например, наличной форме. Этот ученый проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица.

С 1964 г.. Появляются новые работы, начали следующий этап в инвестиционной теории, связанный с моделью оценки капитальных активов, или САРМ (Capital Asset Pricing Model). Учеником Марковица В.-Ф. Шерпом была разработана модель рынка капиталив1. Формулируя ее, он понимал, что абсолютно надежных акций или облигаций не бывает. Все они в определенной степени связаны с риском для корпорации: она может получить большой доход или остаться без ничего. Развивая подход Г.-м. Марковица, Шарп разделил теорию портфеля ценных бумаг на две части: систематический (или рыночный) риск для активов акций и несистематический. Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями стоимости ценных бумаг, обращающихся на рынке. То есть доходность одной акции постоянно колеблется около средней доход * ности всего актива ценных бумаг. Этого невозможно избежать, поскольку действует слепой механизм рынка. Несистематический риск связан с влиянием всех факторов, специфических для корпорации, выпускающей в обращение ценные бумаги. Определив специальные коэффициенты реакции цен акций или облигаций на изменения рыночной конъюнктуры ("альфа" и "бета"), В.-Ф. Шарп разработал формулу расчета сравнительной степени риска ценных бумаг на основе "линии эффективности рынка ссудного капитала".

Шарп Уильям-Форсис родился в 1934 г.. В г.. Бостон (штат Массачусетс, США). Учился в Калифорнийском университете на медицинском факультете, затем - на факультете деловой администрации. С 1956 гг. Работал в фирме "RAND Corp. * Совместно с Марковицем написал докторскую диссертацию по проблемам экономики трансфертных цен и защитил ее в 1961 году. Работал в Школе бизнеса при Вашингтонском университете, профессором Калифорнийского и Стэнфордского университетов.

В 1980 г.. Избран президентом Американской финансовой ассоциации. Почетный профессор Стэнфордского университета.

Важной особенностью систематического риска является то, что увеличение количества акций или облигаций не способно ликвидировать его. Однако растущая покупка ценных бумаг может обеспечить устранение несистематического риска. Итак, вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Задача, стоящая при формировании портфеля заключается в уменьшении риска путем приобретения различных ценных бумаг таким образом, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, обоюдного мовривноважувалися. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка.

На основе этой модели В.-Ф. Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В простых случаях, для небольших объемов, эту задачу можно было решить практически "вручную". Такое упрощение позволило методы портфельной оптимизации применять на практике. До 70-х годов XX в. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценки коэффициентов "альфа" и "бета", отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом привели к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Выводы Шарпа стали известны как модели оценки долгосрочных активов, основанные на предположении, что на конкурентном рынке ожидаемая премия за риск изменяется прямо пропорционально коэффициенту "бета". Экономист развил положения Г.-м. Марковица в плане выбора оптимальных инвестиционных портфелей. Его научный вклад в портфельную теорию кратко сформулирован в следующих принципах:

1. Инвесторы предпочитают високоочикуваний доходности инвестиций и низком стандартному отклонению. Портфели обыкновенных акций, обеспечивающих наиболее високоочикувану доходность при определенном стандартного отклонения, называются эффективными портфелями.

2. Чтобы определить предельное влияние акции на риск портфеля, необходимо учитывать не риск акции самой по себе, а ее вклад в риск портфеля. Этот вклад зависит от чувствительности акции к изменениям стоимости портфеля.

3. Чувствительность акции к изменениям стоимости рыночного портфеля обозначают показателем «бета». Итак, "бета" измеряет также вклад акции в риск рыночного портфеля.

4. Если инвесторы могут брать займы или предоставлять кредиты по безризы-вой процентной ставке, тогда им следует всегда иметь комбинацию безрисковые вых инвестиций и портфель обыкновенных акций. Состав такого портфеля акций зависит только от того, как инвестор оценивает перспективы каждой акции, а не от его отношения к риску. Если инвесторы не имеют какой дополнительной информации, то им следует держать такой же портфель акций, как и в других, то есть рыночный портфель ценных бумаг.

Сейчас модель Марковица используют преимущественно на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала по различным типам активов: акциями, облигациями, недвижимостью и т. Однофакторной модели Шарпа используют на втором этапе, когда капитал, инвестированный в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (то есть по конкретным акциям, облигациям и т.п.).

В 60-е годы В.-Ф. Шарп, а затем и Дж. Линтнер и Я. Моссина исследовали одну проблему: "Допустим, что все инвесторы, обладая одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Допустим также, что все они формируют свои оптимальные в смысле теории Марковица портфели акций, исходя из индивидуальной склонности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций? " Итак, САРМ можно трактовать как макроэкономическое обобщение теории Марковица. Основным результатом САРМ стало установление соотношения между доходностью и риском актива для равновесного рынка. При этом важен тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не "весь" риск, связанный с активом (риск по Марковицем), а только его часть - систематический, или недивер-сификований, риск. Эта часть риска актива тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представлена коэффициентом "бета", введенным В.-Ф. Шарпом в его модели. Остальную часть (несистематический, или дивер-сификований, риск) ликвидируют выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Связь между доходностью и риском носит линейный характер, и тем самым привычное практическое правило "большая доходность означает большой риск" получает точное аналитическое отражение.

В 1977 г.. Эту теорию подверг жесткой критике Р. Ролл. Он считал, что САРМ нужно отбросить, поскольку она в принципе не допускает эмпирической проверки. Но САРМ остается, пожалуй, самой значительной и влиятельной современной финансовой теории.

С инвестиционной теорией и теорией финансового менеджмента связан еще один цикл исследований по так называемой теории корпоративного рынка, которая рассматривает проблему "адекватности" рыночных цен финансовых активов. Вопрос в том, насколько "истинная стоимость" финансовых активов сказывается на рыночных ценах. Инвестор, который обнаружил, что рынок систематически недооценивает или переоценивает определенный актив, мог бы получать доход долго и практически без риска. Гипотеза эффективности утверждает, что это невозможно. Рыночные цены в целом отражают практически всю доступную инвесторам информацию, их колебания должны быть абсолютно случайными и ни один инвестор не в состоянии предсказать будущие цены рынка.

Гипотеза эффективного рынка и связанная с ней модель "случайного блуждания" рыночных цен активов стимулировали использование динамических теорем-тико-вероятностных моделей, основанных на теории случайных процессов. В русле этих идей в 1973 году. Скоулз и Блэк предложили модель опционов, которая названа моделью Блэка-Скоулза.

Скоулз Мюрон-Самюэль родился в 1941 г.. (Г.. Тимминс, Канада). Окончил университет Мак-Мастера в Чикагском университете, защитил докторскую диссертацию. Работал ассистентом профессора финансов в Слоан - школе менеджмента Массачусет-ского технологического института, затем преподавал в Чикагском, а с 1983 г.. В Стен-фордському университетах.

Был специальным консультантом в "Salomon Brothers *. В 1994 p. Создал хедж-фонд LTCM и возглавил его.

Автор работ "Налоги и оценка опционов" (1976), в соавторстве "Ценообразование на опционы и пассивы корпораций" (1973, вместе с Ф. влек), "Эффекты дивидендной доходности и дивидендная политика в ценообразовании и обращения простых акций" (1974, вместе с Ф. Блэком), "Дивиденды и налоги" (1978, вместе с М. Миллером), "Оптимальная ликвидность активов в условиях персональных налогов" (1980, вместе с Дж. Константиниди сом), "Исполнительные компенсационные налоги и стимулы" (1981, вместе с М. Миллером), "Дивиденды и налоги: некоторые эмпирические результаты" (1982, вместе с М. Миллером), "Налоги и деловая стратегия: плановый подход" (1991).

Лауреат Нобелевской премии по экономике (1997), почетный доктор Католического университета Лувена, Парижского университета и университета Мак-Мастера.

Блэк Фишер (1938-1995) - профессор Чикагского университета. Преждевременная смерть помешала ему разделить честь со своими коллегами стать лауреатом Нобелевской премии по экономике в 1997

Прежде чем выяснить суть этой модели, надо кратко остановиться на экономической роли производных ценных бумаг, в частности на их разновидности - опционе. В отличие от акций и облигаций, выпускаемых с целью привлечения денежных средств, фирмы покупают и продают опционы, чтобы защититься от неблагоприятных изменений на финансовом рынке. Поскольку стоимость опционов производная от стоимости других ценных бумаг, то их называют вторичными. Наличие рынка вторичных ценных бумаг позволяет его участникам, ожидают в будущем определенных поступлений или, наоборот, затрат, гарантировать себе определенный уровень прибыли или застраховаться от потерь, превышающих определенный уровень. Последние двадцать лет такой рынок стремительно развивается во всем мире.

Функционирование опционов прослеживается на типичном примере. Покупатель имеет в собственности европейский опцион "колл", что дает ему право купить одну акцию некой фирмы за 50 долларов через три месяца (европейский опцион дает право купить или продать только в определенную дату, тогда как американский опцион предоставляет такую возможность в любой момент до определенной даты). Если по истечении этого срока цена акции окажется ниже 50 долларов, то никто не захочет заплатить такую сумму. В таком случае опцион покупателя никакой цены не будет - его стоимость будет равна нулю. Владелец такого опциона не воспользуется своим правом. При этом его потери ограничатся небольшой суммой, которую он уплатит продавцу опциона при оформлении контракта. Если наоборот, рыночная цена акции окажется выше 50 долларов, владельцу опциона выгодно будет реализовать свое право покупки акции по 50 долларов. В таком случае стоимость опциона равна рыночной стоимости акции минус те 50 долларов, которые пришлось заплатить, чтобы купить акцию (то есть минус цена исполнения опциона). Таким образом, рост цены акции увеличивает стоимость опциона и уменьшает связанный с ним риск, тогда как падение цены акции имеет противоположный эффект.

Любое вложение в опцион рискованнее, чем вложения непосредственно в акции: ведь риск, связанный с ним, изменяется каждый раз, когда изменяется цена акции. Соответственно, ожидаемая норма дохода на опцион, на которую рассчитывают инвесторы, ежечасно изменяется в зависимости от изменения рыночной цены акции. Именно поэтому определение стоимости опционов при помощи стандартных формул казалось практически невозможным. Все предыдущие (с 1900) попытки экономистов вычислить стоимость вторичных ценных бумаг были неудачными из-за огромной проблемы - невозможности правильно рассчитать премию за риск (доход на рисковые вложения).

М.-С. Скоулз и Ф. Блэк совершили прорыв в этой области, разработав метод определения стоимости опциона, не требующий использования конкретной величины премии за риск. Это не значит, что премии за риск нет: просто ее включево в цену акции. Именно эту идею заложен в формуле, которую Блэк и Скоулз впервые обосновали в работе "Образование цен на опционы и пассивы корпораций" (1973). Эта чюрмула оценивает "справедливую стоимость" опциона. Модель является полезной при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыли на опционных торгах. Концептуально модель Блэка-Скоулза можно объяснить так: цена опциона "колл" ~ (ожидаемая цена акции) - (ожидаемая стоимость выполнения опциона). Ф. Блэк и М.-С. Скоулз включают в это уравнение следующие компоненты:

а) поправку на вероятность рассеяния будущей цены акции;

б) поправку на чистое значение стоимости выполнения;

в) поправку на вероятность того, что цена исполнения может быть выше цены надлежащего актива

г) поправку на то, что часть любого полученного платежа может быть определена по безрисковой ставке. Формула выглядит следующим образом:

где С - цена опциона "колл" (которую также называют "премией") S - текущая цена акции; N - число акций; d - дивидендная доходность акции; L - цена исполнения опциона (страйк опциона) t - время до экспирации (конца действия) опциона (в годах); q - среднее квадратическое отклонение курса акции (корень из суммы квадратов отклонений) r - безрисковая процентная ставка; е - основание натурального логарифма (2,71828).

Эта модель основывалась на возможности осуществления безрисковой сделки с одночесним использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции меняется со временем, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, также должна соответственно изменяться. Из этих предписаний можно получить оценку (вероятностную) стоимости опциона.

Г.-м. Марковиц утверждает, что инвестор должен обосновать свое решение относительно выбора портфеля исключительно на ожидаемой доходности и стандартном отклонении. Он должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля, а затем выбрать "лучший" из них, основываясь на соотношении этих двух параметров. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение - как мера риска, связанная с этим портфелем. После исследования каждого портфеля в смысле потенциального вознаграждения и риска инвестор должен выбрать "лучший" портфель.

Современная теория портфельных инвестиций пришла к следующим основным выводам:

Эффективное множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают и максимально ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности;

Предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, образуют эффективное множество;

Оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством;

Диверсификация конечно уменьшает риск, поскольку стандартное отклонение портфеля в общем случае будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения ценных бумаг, формирующих портфель;

Соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;

Доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной бумаги сполна. Необъяснимые элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели;

В соответствии с рыночной модели общий риск ценной бумаги образуется из рыночного и собственного риска;

Диверсификация усредняет рыночный риск;

Диверсификация может значительно снизить собственный риск.

Можно сформулировать основные постулаты, на которых основывается современная теория портфельных инвестиций:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

2. Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций - возможностей диверсификации риска.

8. Инвестор может формировать различные допустимые (для определенной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

4. Сравнение выбираемых портфелей, основывается только на двух критериях - средняя доходность и риск.

5. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Центральной проблемой в теории портфельных инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход многомерный как по числу привлеченных к анализу активов, так и по учтенным характеристикам.

Увеличение количества корпораций, фирм, распространение на Западе предпринимательской деятельности и стремление бизнесменов получать большие доходы от нее постоянно требовали дальнейшего научного исследования финансовых проблем. Для определения ожидаемой доходности финансовых активов используют портфельную теорию.

Теория портфельных инвестиций прошла три этапа развития. Первый этап (первичный) - разработка математических основ для портфельной теории; второй - создание теории рыночного портфеля в работах Марковица, Тобина, Шарпа; третий - формирование на основе теории рыночного портфеля теории оптимального портфеля в работах Модильяни, Миллера, Блэка, Скоулза. Труды этих ученых сразу получили широкое признание, а предложенные ими схемы расчетов были применены на практике. Научные достижения, технологические новации, рост объемов мировой торговли, дерегулирование международных соглашений обусловили глобализацию международного финансового рынка. Размер международного банковского кредита в период с 1964 по 1985 год увеличивался в среднем за год на 26% - в 2,5 раза быстрее, чем объем мирового производства. 70-е годы XX в. - Это годы бурного, "взрывного" роста рынка опционов.

Модель Блэка-Скоулза считается одним из самых значительных вкладов в экономическую теорию за последние ЗО лет, прежде всего потому, что она создает предпосылки для эффективного управления риском и таким образом способствует осуществлению важнейшей функции финансового рынка - перераспределять риски в пользу тех его участников, которые готовы и способны рисковать. Но сфера применения этой модели намного шире: на ее основе появились новые области исследований как в рамках экономики финансов, так и вне ее. Аналогичный подход используется, например, для оценки страховых контрактов и гарантий, поскольку они, предоставляя владельцам право, но не обязательство их использования, являются своеобразными опционами. Еще одной сферой применения модели Блека- Скоулза считают принятие решений об инвестициях. Здесь как оцениваемый дополнительные функции-он можно рассматривать большую или меньшую гибкость использования оборудования, в которое вкладывают инвестиции. Например, закрытие и повторное открытие производства (шахты снижение цены на уголь) или возможность и доступность перехода от одного источника энергии к другому (в случае изменения относительных цен на нефть и электроэнергию). Банки, в частности инвестиционные, также используют модель Блэка-Скоулза для определения стоимости новых финансовых инструментов, а также создание таких инструментов на заказ с учетом возможных конкретных рисков. По мнению специалистов, эту модель можно применять для оценки контракта, стоимость которого зависит от неопределенной будущей стоимости активов всех видов.

Модель Блэка-Скоулза до сих пор одна из наиболее часто применяемых, хотя со временем появились более сложные модели как опционов, так и других "производных" ценных бумаг. Третий этап в развитии классической теории портфельных инвестиций (70-е годы) характеризует стремительное расширение и углубление математических средств финансового анализа. Если в довоенные годы редко использовали даже элементарную алгебру, а портфельная теория Марковица-Тобина-Шарпа применяла только элементарные теоретико-вероятностные и оптимизационные методы, то работы 70-80-х годов требовали тонких и сложных средств современной теории случайных процессов и оптимального управления.

Четкое соблюдение этих положений на практике проблематично. Однако оценка теории портфельных инвестиций должна основываться не только на степени адекватности исходных предположений, но и на успешности решения с ее помощью задач управления инвестициями. В последнее время сфера использования этой теории значительно расширилась. Хотя у нее есть немало противников, ее влияние постоянно растет не только в академических кругах, но и на практике (включая украинский) среди инвестиционных менеджеров, руководителей и тому подобное.

Особой практической значимости в развитых странах приобретают различные механизмы перераспределения рисков через хеджирование. Для этого создается ряд хедж-фондов, одним из которых является "Long Term Capital Management * (LTCM). Учредители (среди которых Скоулз) и менеджеры сумели довести его баланс до 125 млрд долларов. Уже с первых лет деятельности хедж-фонда удалось достичь значительных успехов. Но летом 1998 p. LTCM оказался на грани коллапса. Чтобы начать среди инвесторов спасательную кампанию, пришлось объявить, что капитал фонда сократился за несколько недель с 4 млрд долларов США до 600 млн после того, как было неправильно сделано ставки на динамику государственных облигаций стран "большой семерки". Более 90% всех вложений фонда были связаны с производными инструментами от этих облигаций - деривативами. Как считают теперь эксперты, опасность коллапса таил принцип деятельности хедж-фонда LTCM. оффшорные основываясь на Каймановых островах, фонд занимался финансовым арбитражем, что не имеет ничего общего с долгосрочными инвестициями в реальную экономику. Ситуация с фондом подтверждает также, что при применении теоретических наработок на практике даже крупных ученых сопровождают не только успехи, но и неудачи. В то же время их заслугой является умение выявить причины проблем, найти способы их устранения и, пользуясь приобретенным опытом, продуцировать новые идеи.

Повышенный исследовательский интерес к функционированию финансовой системы обусловлен значительными сдвигами на рынках ценных бумаг в течение последних десятилетий. Они тесто связанные с изменениями в экономике, ростом ее нестабильности. В 80-е годы XX в. усилилась неравномерность развития мировой экономики, обострилась борьба между тремя высокоразвитыми центрами на планете (США, Западная Европа, Япония), между промышленно развитыми странами и развивающимися странами. Небывалое для мирного времени рост государственных долгов, кризис задолженности развивающихся стран и отдельных отраслей хозяйства развитых стран, нестабильность в банковской сфере привели к развитию рынков ценных бумаг. Сейчас стоимость всех акций и облигаций, находящихся в обращении западных стран, превышает годовой объем их ВНП.

Без исследования этой темы невозможно понять функционирование финансовых рынков, познать их взаимосвязь с реальным производством, обобщить опыт использования рыночных механизмов мобилизации и перераспределения ресурсов. Достижения современной теории портфельных инвестиций способствуют более полному использованию ценных бумаг для привлечения средств с целью финансирования внешнеэкономических операций и совершенствованию финансово-кредитной системы западных стран.

Разбалансированность финансовых рынков может привести к непоправимым последствиям. Шоковое воздействие на экономику западных стран имел биржевой крах 20 октября 1987, когда за шесть с половиной часов была уничтожена рыночная стоимость акций американских корпораций на половину триллиона долларов. Тогда же в США 22-процентный обвал индекса Dow Jones вызвал настоящую панику, поскольку 47 миллионов американцев имели отношение к рынку акций непосредственно или через пенсионные фонды, средства которых вкладываются в акции. Развернутые исследования ученых-нобелиантов позволили заблаговременно предсказывать, а следовательно и избегать таких разрушительных действий.

Модель оценки капитальных активов (САРМ) имеет важное значение по двум причинам:

1) модель обеспечивает теоретическую базу для распространенной практики пассивного ингестування, известной как индексирование. Стратегия индексирования предусматривает формирование и поддержание диверсифицированного портфеля ценных бумаг в пропорциях, соответствующих их удельному весу в таких фондовых индексах, как Standard & Poor"s 600 или Morgan Stanley (индекс для международных рынков). На данный момент управление миллиардами долларов, вложенными по всему миру через пенсионные фонды, взаимные фонды и другие организации, осуществляется с помощью пассивного управления с использованием стратегии индексирования;

2) с помощью САРМ можно во многих случаях оценить предполагаемые ставки доходности (например, учетные ставки с поправкой на риск или рыночные ожидаемые ставки доходности финансовых активов, необходимые в качестве исходных данных для использования в моделях оценки акций на основе дисконтированных денежных потоков. Менеджеры компаний используют эти модели для принятия решений по вопросам планирования инвестиций).

САРМ применяют также для:

а) сравнение различных инвестиций с точки зрения их риска и дохода на

б) установление справедливых норм прибыли для оценки отдачи вложенного капитала в государственных предприятиях или фирмах, использующих в своей деятельности метод ценообразования «издержки плюс фиксированная прибыль».

Практические пособия по финансовому менеджменту в части выбора стратегии долгосрочного инвестирования и сейчас базируются исключительно на САРМ.

История возникновения

Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в -1951 годах .

Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля» . В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях . Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий доходность и риск, что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык . Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в Rand Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации - Джорджом Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.

Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций» .

Описание теории

После проведённой Марковицем формализации, с математической точки зрения задача по формированию оптимального портфеля представляла собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях . Этот класс задач, является одним из наиболее изученных классов оптимизационных задач , для которых существует большое число эффективных алгоритмов .

Для построения пространства возможных портфелей Марковиц предложил использовать класс активов, вектор их средних ожидаемых доходностей и матрицу ковариаций .

На основе этих данных строится множество возможных портфелей с различными соотношениями доходность-риск .

Так как в основе анализа лежат два критерия, менеджер выбирает портфели :

Либо поиском эффективных, или неулучшаемых решений. В этом случае любое другое решение, лучше найденных по одному параметру обязательно будет хуже по другому.
Либо выбирая главный критерий (например, доходность должна быть не ниже определённой величины) остальные используя лишь в качестве критериальных ограничений.
Либо задавая некий суперкритерий, который является суперпозицией указанных двух (например, их функцией).

Математическая формулировка и решение задач

Портфель Марковица минимального риска

Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности ковариационной матрицей может быть сформулирована следующим образом

К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,

то решение задачи имеет вид

Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид

где - минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность

- доходность портфеля, с соотношением риск-доходность таким же как и портфель минимального риска (графически это единственная точка пересечения с параболой прямой, проходящей через начало координат и вершину параболы)

Портфель Тобина минимального риска

При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью формулировка задачи меняется

Решение этой задачи имеет вид

Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен

Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.

Средняя доходность рискового портфеля будет равна

Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом

Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов от средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов

Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом

Это модель оценки финансовых активов - CAPM

Примечания

Разработчиком современной теории портфельных инвестиций считается Гарри Марковиц, который в 1952 г. предложил математическую модель портфеля ценных бумаг и разработал методику его оптимизации. Основное допущение, использование которого позволило совершить прорыв в разработке теории инвестиций, состоит в интерпретации понятия риска как среднеквадратического отклонения доходности инвестиционного портфеля от своего среднего значения. Хотя недостатки такого допущения очевидны, однако интегральность этого параметра и разработанность используемого аппарата математической статистики обеспечили эффективность применения подобного подхода для решения практических задач портфельного инвестирования.

При таком способе описания инвестиционный портфель, который состоит из одного вида ценных бумаг, характеризующихся некоторой доходностью и риском, изображается на графике "Риск – Доходность" точкой 1 (рис. 6.3). Портфели, которые состоят из двух видов ценных бумаг в различной пропорции, описываются линией, соединяющей точки 1 и 2 на графике. Инвестиционные портфели, содержащие больше двух видов ценных бумаг, изображаются на графике областью, которая называется областью допустимых инвестиционных портфелей (область 1–2–3 ).

Рис. 6.3.

Относительно поведения инвесторов в теории портфельных инвестиций сделано два предположения. Первое: при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью; второе: из двух активов с одинаковой доходностью инвестор предпочитает актив с меньшим риском.

На графике "Риск – Доходность" (рис. 6.4) инвестиционные предпочтения инвестора описываются некоторой кривой L 1, называемой кривой безразличия. Особенность данной кривой состоит в том, что инвестиции в ценные бумаги, характеристики которых расположены на данной линии, равнопривлекательны для инвестора. Если кривая безразличия (то, во что инвестор готов инвестировать, – линия L 1) не пересекается с областью, описывающей допустимые инвестиционные портфели (то, что предлагает рынок, – область 1–2–3 ), то такие инвестиционные портфели не удовлетворяют инвестора (рис 6.4, а ). Для того чтобы инвестор затратил денежные средства на приобретение ценных бумаг, необходимо изменить структуру инвестиционного портфеля таким образом, чтобы кривая безразличия L 1 стала проходить через область допустимых инвестиционных портфелей (рис. 6.4, б, область 5–4–3 ).

Принимая во внимание первое предположение о поведении инвесторов (при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью ), из всей области допустимых инвестиционных портфелей инвестор выберет портфели, которые описываются линией А–Б (область эффективных портфелей Марковица, см. рис. 6.4, б ). Из этого множества эффективных портфелей необходимо выбрать портфель с оптимальным соотношением параметров "риск – доходность". Для этого следует из всех кри-

Рис. 6.4.

а – структура инвестиционного портфеля не удовлетворяет инвестора; б – структура инвестиционного портфеля удовлетворяет инвестора

вых безразличия выбрать такую линию, которая отвечает наибольшему неприятию риска (L 2). Такая кривая будет смещена максимально влево-вверх, пересекаясь с областью допустимых портфелей Марковица в одной точке (А), которая определяет оптимальный инвестиционный портфель (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

Нахождение оптимального портфеля является оптимизационной задачей, для решения которой в настоящее время разработано достаточно много эффективных алгоритмов. Однако наибольшая трудность при решении такой задачи состоит в определении кривой безразличия инвестора. Поэтому модель Марковица имеет в основном методологическое значение, показывая принципиальную возможность нахождения оптимального портфеля.

Модель Тобина с безрисковым активом. Дж. Тобин предложил метод нахождения оптимального инвестиционного портфеля путем включения в него безрисковых ценных бумаг. Понятие безрисковой ценной бумаги в модели Марковица означает, что доходность такой ценной бумаги имеет среднеквадратическое отклонение, равное нулю. На графике "Риск – Доходность" безрисковая ценная бумага изображается точкой О (рис. 6.6). Комбинация безрисковой ценной бумаги с любыми другими ценными бумагами из эффективного инвестиционного портфеля изображается прямой линией (например, прямая ОБ, см. рис. 6.6). Выбираем структуру портфеля с безрисковым ак-

Рис. 6.6.

швом таким образом, чтобы он отвечал наибольшей доходности (наибольшая крутизна линии ОБ). Этому портфелю на графике "Риск – Доходность" (см. рис. 6.6) отвечает прямая линия ОА, касающаяся линии эффективного портфеля в точке А. В результате получим новую совокупность эффективных портфелей, содержащих безрисковые ценные бумаги, описываемых на графике "Риск – Доходность" прямой ОА и линией эффективного портфеля АБ. При этом оптимальный инвестиционный портфель, содержащий безрисковые ценные бумаги, определяется точкой А.

Для определения параметров оптимального портфеля, содержащего безрисковые ценные бумаги, был разработан алгоритм Элтона – Груббера – Падберга, который позволяет вычислять доли (веса) ценных бумаг, входящих в оптимальный инвестиционный портфель.

Индексная модель Шарпа

У. Шарп предложил модель, в которой ценные бумаги и их поведение сравниваются с поведением рынка в целом. Модель основана на предположении, что операции с любыми ценными бумагами имеют приблизительно одинаковую доходность. Если доходности каких-либо ценных бумаг начинают отличаться от среднерыночных показателей, это указывает на изменение их инвестиционной привлекательности по сравнению с рынком в целом. В зависимости от значения предложенных индикаторов даются рекомендации, что надо делать с этими ценными бумагами: покупать, продавать или держать. Шарп ввел следующие параметры:

коэффициент β – показатель, который представляет собой ковариацию между поведением рассматриваемой ценной бумаги и поведением рынка в целом, взвешенную на степень ее риска по отношению к риску рынка в целом;
коэффициент α – показатель, характеризующий смещение доходности рассматриваемой ценной бумаги (r i) относительно среднерыночного значения (r т). Соотношение между этими величинами имеет вид r i = α +β r m;
коэффициент корреляции доходностей ценной бумаги и рынка R 2, являющийся для модели вспомогательным параметром.

1) покупать следует, если ценная бумага недооценена (α
против падающего рынка (β
по растущему рынку (β > 0);

2) продавать следует, если ценная бумага переоценена (α > 0) и ведет себя:

по падающему рынку (β > 0) или
против растущего рынка (β

При этом необходимо, чтобы R 2 –> 0. Во всех остальных случаях ценные бумаги следует держать.

На западных рынках значения α, β и R 2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией и совершая сделки купли-продажи, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг.