Л. Канторович. Разработка эффективного использования ресурсов, решение задач оптимизации. Реферат: Применение методов линейного программирования в военном деле. Симплекс-метод Особенности жизни, деятельности, вклада в науку, экономико-математических теор
К середине XX века экономисты-теоретики игнорировали математические подходы и обоснование. Но математические исследования продолжались, и были достигнуты блестящие результаты. В 1975 г.. Лучшие представители математической школы советский ученый Л. Канторович и американский профессор Т.-Ч. Купманс были отмечены Нобелевской премией.
Канторович (1912-1986) родился в Петербурге. В 1930 г.. Окончил Ленинградский университет, а уже через четыре года ему присвоили звание профессора. Работал в Ленинградском институте инженеров промышленного строительства, был заведующим кафедрой Высшего инженерно-технического училища, профессором Ленинградского университета. В 1958 г.. Вместе с В. Немчиновым он создал Лабораторию по применению статистических и математических методов в экономике. В том же году Л. Канторовича был избран членом-корреспондентом, а в 1964 г.. - Действительным членом Академии наук СССР.
Автор трудов "Методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных" (совместно с В. Крыловым, 1936), "Функциональный анализ в привел упорядоченных пространствах" (совместно с Б. Вулихе и А. Пинскером, 1949), "Функциональный анализ и прикладная математика "(1948)," Экономический расчет наилучшего использования ресурсов »(1959)," Функциональный анализ в нормированных пространствах »(совместно с Г. Акиловым), выдержавшей несколько изданий в СССР и за рубежом," Динамическая модель оптимального планирования "(1967), "Ценообразование и технический прогресс" (1979) и многие другие.
Почетный член Международного эконометрического общества, почетный доктор Гренобльском, Хельсинкского, Йельского, Парижского, Кембриджского, Пенсильванского университетов, а также университетов в Варшаве, Глазго, Мюнхене, Ницце и имени Мартина Лютера в Галле, Статистического института в Калькутте. Лауреат Нобелевской премии (1975).
Купманс Тьяллинг-Чарльз (1910-1985) родился в Грейвленди (Голландия). С 1927 по 1933 получал образование в Утрехтском университете. С 1934 г.. В Амстердамском университете готовил докторскую диссертацию "Линейный регрессивный анализ экономических временных поясов", которую защитил в 1936 в Лейденском университете. Преподавал экономику и вел научно-исследовательскую деятельность в Нидерландском экономическом институте в Роттердаме. Два года (1938-1940) работал экспертом Лиги Наций по вопросам денежного обращения. В 1940 г.. Он эмигрировал в США, преподавал в Нью-Йоркском, Чикагском, Гарвардском университетах.
Наибольшее признание получили его книги "Статистический вывод о динамических моделей" (1950), "Три очерка о состоянии экономической науки" (1975) и многие другие.
Был членом Эконометрического общества США. В 1950 г.. Избирался президентом Международного эконометрического общества. В течение 1955-1981 гг. Работал профессором экономики Йельского университета. Заслуженный член Американской экономической ассоциации, почетный профессор Йельского института, ему присвоены почетные ученые степени Нидерландской школы экономики, Лувенского католического, Север-но-Западного и Пенсильванского университетов. Лауреат Нобелевской премии (1975).
Основой теории оптимального распределения ресурсов является метод линейного программирования, впервые обоснован Л. Канторовичем новый раздел математики, распространился в экономической практике, способствовал развитию и использованию электронно-вычислительной техники. Сутью метода является максимизации за ограниченных ресурсов. Условия задачи на оптимум и цель, которую надо достичь, можно выразить с помощью системы линейных уравнений. Неизвестные в них только первой степени; ни неизвестно НЕ умножается на другое неизвестное. Такие уравнения выражают зависимости, изображают на графике прямыми линиями. Поскольку уравнений меньше, чем неизвестных, то задача обычно имеет не одно, а множество решений. Найти же нужно одно, по математической терминологией экстремальное, решения. Так, в задачи по оптимизации выпуска фанеры Л. Канторович представил переменную, которую следует максимизировать в виде суммы стоимостей продукции, произведенной всеми станками. Ограничители были сформулированы в виде уравнений, устанавливают соотношение между всеми факторами, расходуются в производстве (древесиной, клеем, электроэнергией, рабочего времени), и количеством произведенной продукции (фанеры) на каждом из станков. Для показателей факторов производства были введены коэффициенты, названные решая множителями, или мультипликаторами. С их помощью решают поставленные задачи. Если известны значения решающих множителей, то искомые величины, в частности оптимальный объем производимой продукции, можно легко вычислить.
Л. Канторович обосновал экономическую суть предложенных им коэффициентов (решающих множителей) как предельных стоимостей ограничивающих факторов - это объективно значимые цены каждого из факторов производства применительно к условиям конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимум ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором лучшего в соответствии с условиями задачи.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов был опубликован в 1939 году. В работе "Математические методы организации и планирования производства". В ней Канторович предложил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимосвязанных компонентов неделимой двоедности, что было большим достижением, ведь одновременно минимизация затрат и максимизация результатов невозможно. В то же время оба этих подхода взаимосвязаны: если, например, найдена оптимальная схема перевозок, то ей соответствует определенная система цен; если определенные оптимальные значения цен, то можно получить схему перевозок, отвечает требованиям оптимальности.
Термин "развязывающие множители" в дальнейшем был интерпретирован Л. Канторовичем и сформулирован как объективно обусловленные оценки. Они не произвольные, их величины должны объективно обусловлен характер, задаются конкретными условиями задачи. Значение объективно обусловленных оценок подходят только для одной задачи. Ученый предлагал рассчитывать их при разработке планов; на эти показатели призваны опираться предприятия при расчете затрат и объемов производства соответствующей продукции. Объективно обусловленные оценки корректируются в зависимости от соотношения спроса и объемов производства. Внедрены в практику планирования и управления расчеты должны оп-тимизуваты использования ресурсов.
Задачи линейного программирования были известны еще с конца XVIII в. Однако их начали розвьязувати.лише после выхода в свет работ Л. Канторовича, который стал первооткрывателем линейного программирования. В США исследования по линейного программирования начались в конце 40-х годов XX века * Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига (близкие к методу решения задач линейного программирования Канторовича) были разработаны на десятилетия позже.
В 50-е годы Л. Канторович, обобщив свои исследования, расширил сферу анализа и опубликовал книгу "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов» (1959), первый вариант которой был подготовлен еще в 1942. В ней и в последующих статьях он применил свой метод линейного программирования для исследования широкого круга проблем планирования, в частности на национальном уровне.
Научный вклад Л. Канторовича - это знаменитые научные школы в области функционального анализа, вычислительной математики, математической экономики и оптимального планирования народного хозяйства. Открытое им математическое программирование широко используется для решения равных задач в экономике, физике, энергетике, геологии, биологии, механике и теории управления. Он был одним из основоположников современного экономико-математических-ного направления в экономической науке.
Метод линейного программирования впервые позволил точно сформулировать важное современное экономико-математическое понятие "оптимальность". Л. Канторович и его коллеги разработали систему оптимального функционирования экономики (СОФЭ) сформировали модели эффективного распределения и оценки ресурсов. С позиций теории двойственности Л. Канторович еще в 50-е годы рекомендовал рассчитывать для планового периода оптимальную оценку капиталовложений.
Он дал ей экономическое объяснение и показал ее значение в хозяйственном управлении. Это был научно обоснованный подход к вычислению числового значения единого народнохозяйственного экономического норматива эффективности использования капитальных вложений, который намного опередил свое время.
Несколько позже, но независимо от Л. Канторовича, предложил подобную методологию Т.-Ч. Купманс. В 1944-1945 гг. Он разработал план торгово-го мореплавания, что минимизировал возможность опасного торпедирования пустых грузовых судов фашистскими подводными лодками. Целью он выбрал минимизацию порожнего пробега судов и решил задачу методом проб и ошибок. Купманс доказал, что экономическая задача совпадает с математической задачей минимизации линейной функции. Эту аналитическую методику ученый впервые описал в 1942 году. Под названием "Соотношение между грузопотоками на разных маршрутах". Он показал, что названную проблему нужно рассматривать как линейную функцию максимизации в рамках многих ограничений. Ограничения были представлены математическими уравнениями, выражающими отношение количества расходных факторов производства (амортизации судов, времени, трудовых затрат) с количеством доставленных в различные пункты назначения грузов. При этом величина любых расходов не должна превышать сумму стоимости доставленных в каждый порт грузов. Ученый заметил суть принципа линейного программирования, которая заключалась в том, что в оптимальном случае и при идеальных оценок всех ресурсов затраты и результаты будут равными. Итак, Т.-Ч. Купманс использовал математический инструментарий и создал метод определения оптимального распределения ресурсов между конкурирующими потребителями, по которому можно было, например, рассчитать затраты на доставку миллионов тонн грузов, которые перевозят тысячи судов морскими путями в сотни портов. Метод Купманса, названный "анализом деятельности фирмы", вошел в общую методологию линейного программирования. В дальнейшем ученый разрабатывал и популяризировал методы линейного программирования. Благодаря его усилиям 20-24 июня 1949 в Чикаго была организована первая специальная конференция с линейного программирования.
У1950 г.. Т.-Ч. Купманс с другими исследователями окончательно разработали так называемый метод "анализа деятельности фирмы". Модели этого типа такие же, как и межотраслевые, линейные, однако в них каждый вид производственной деятельности может быть связано с выпуском нескольких товаров, и существует возможность выбора между различными технологиями производства каждого вида продукции. Производственная модель типа анализа деятельности фирмы, как правило, содержит гораздо больше степеней свободы, чем обычная модель межотраслевого баланса, благодаря чему открываются природные возможности для оптимизации. Именно поэтому анализ деятельности фирмы развивался в тесной связи с линейным программированием.
Теория оптимального распределения ресурсов, учредителями которой являются Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс, определяет модель производственного процесса, с помощью метода линейного программирования обеспечивает выбор из нескольких возможных такого варианта, который максимизирует выпуск продукции не только на уровне предприятия, но и на макроэкономическом уровне.
15 октября 2007 г. Шведская Королевская академия наук объявила о присуждении Нобелевской премии по экономике 2007 г. трем экономистам США – Леониду Гурвицу, Эрику Маскину и Роджеру Майерсону за «создание основ теории оптимальных меха- низмов распределения ресурсов».
Исследователи сделали попытку решить вопрос оптимального распределения ресур- сов в условиях неполной информированности участников рынка друг о друге.
Теорию оптимальных механизмов распределения ресурсов создал Гурвиц, а Маскин и Майерсон развили и дополнили ее в условиях информационной асимметрии Дж. Акерлофа, М. Спенса и Дж. Стиглица.
Теория информационной асимметрии гласит, что в условиях, когда участники сделки не обладают одинаковым объемом информации об объекте сделки, участник, располагаю- щей большей информацией, добивается цены выше ее оптимального уровня.
Создание и развитие теории оптимального распределения ресурсов помогает объяс- нить ситуации, происходящие на рынке, различать, какие тенденции (положительные или отрицательные) преобладают в данное время.
По мнению членов Нобелевского комитета, разработка теории оптимальных меха- низмов распределения ресурсов позволила определить эффективные торговые механизмы, схемы регулирования и процедуры голосования, а также значительно расширила знания об особенностях оптимального распределения ресурсов.
ГУРВИЦ Леонид (Леон) – почетный профессор экономики Миннесотского универси- тета США. Родился в 1917 г. в Москве (Россия) в семье беженцев из Польши. Позднее его родители переехали в США, где Гурвиц живет по настоящее время. Гурвиц – самый пожи- лой (ему 90 лет) Нобелевский лауреат за все годы во всех номинациях. Он одним из первых оценил возможность, которую раскрывает перед экономической наукой теория игр.
Созданная им теория оптимального распределения имеет непосредственное отноше- ние к оптимальному распределению ресурсов, являющемуся ключевым аспектом экономи- ческой науки. Использующийся до этого анализ оптимального распределения ресурсов при помощи использования теории рынков был эффективным только в идеальных условиях, которых нет в реальной практике. Теория оптимальных механизмов распределения ограни- ченных ресурсов выдвигает проблему поиска самого эффективного механизма в сложив- шейся реальной жизни.
Гурвиц установил, что для распределения благ наиболее эффективным механизмом во многих случаях выступает двойной аукцион, при котором цены устанавливаются не только продавцами, но и покупателями. Разработанная Гурвицем и другими лауреатами Нобелев- ской премии по экономике 2007 г. теория объясняет, почему рыночные механизмы плохо работают с общественными благами вроде водных ресурсов, дорог. Для их экономически эффективного распределения может потребоваться другой метод, например введение нало- гов на пользование.
Теорию оптимальных механизмов распределения ресурсов Гурвиц создал в 1960 г. Механизм он понимал как игру, в которой участники обмениваются информацией друг с другом или с «центром сообщений», а заранее заданные правила определяют распределение ресурсов для каждого набора сообщений. Гурвиц исследовал получающиеся в ходе игры равновесные состояния. Он отбирал те решения, которые были оптимальными для всех участников игры. Разработанные им схемы работают даже тогда, когда участники игры не знают, сколько за нужные им ресурсы дают соседи. Система, организующая аукцион, пыта- ется как можно полнее удовлетворить запросы каждого участника. При этом участники игры свои оценки благ направляют в систему тайно. В результате чего получающееся распреде- ление оказывается максимально близким к справедливому.
В 1972 г. Гурвиц упростил анализ, ввел так называемый «принцип откровения», сужа- ющий и ограничивающий поле исследования.
Игры Гурвица помогают участникам аукциона купить или продать то или иное благо как можно выгоднее для себя.
Важно отметить, что теория оптимальных механизмов учитывает такие ситуации, в которых деньги не главное. Так, оптимальные механизмы могут быть полезны в случае, когда приоритетом для правительства при осуществлении сделок или аукционов является общественное благо.
Однако Гурвиц особое значение придает другой сфере использования своей теории. В
телефонном интервью Нобелевскому комитету он назвал ее «социальным обеспечением».
МАСКИН Эрик (р. 1950 г.) – профессор Принстонского университета; совместно с Майерсоном, профессором Чикагского университета, в 1972 г. «принцип откровения» Гур- вица свел к уже известному экономической науке равновесию по Нэшу (Дж. Нэш – аме- риканский экономист, лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 г.), являющемуся инструментом анализа почти по всем разделам экономической науки, когда необходим ком- плексный анализ взаимодействия экономических субъектов.
Маскин вывел важнейшие условия эффективности в работе об организации привати- зационных аукционов. По Маскину, наиболее эффективным является тот аукцион, в котором платят все участники, а объект получает заплативший больше других. Теорию оптимальных механизмов распределения Маскин использует при анализе голосований.
МАЙЕРСОН Роджер (р. 1951 г.) – профессор Чикагского университета. Он обратил внимание на поиск оптимальных механизмов распределения между государством и моно- полиями.
Майерсон в сотрудничестве с другими учеными предположил, что надзорные органы не обладают полной и достоверной информацией о реальной себестоимости продукции монополистов. Но, по мнению Майерсона, у антимонопольщиков всегда имеется выбор между обложением монополистов рентой и стимулированием эффективного уровня произ- водства.
Статья Майерсона об оптимальных аукционах, опубликованная в 1981 г., выглядела абстрактной. Однако если взглянуть на аукционы через призму теории стимулов, созданной Гурвицем, она представляется полезной.
Исследование Гурвица, Маскина и Майерсона имеет определенные параллели с иссле- дованием теории рынков в условиях асимметричной информации Акерлофа, Спенса и Сти- глица, за которое им была присуждена Нобелевская премия в 2001 г.
Высказывается мнение, что если бы теорию Гурвица знали и применяли авторы и орга- низаторы приватизации государственной и общественной (коллективной) собственности в России, то ее экономика могла бы развиваться успешнее.
конкурентного равновесия и ее применения к экономике благосостояния . Конкретный характер приложений определяется лектором, но
Одной из задач предшествующих глав было найти выход из этого двойственного положения и тесно связать теорию цен с теорией стоимости . Я считаю неправильным деление Экономической Науки на Теорию Стоимости и Распределения, с одной стороны, и Теорию Денег - с другой. Истинная граница, на мой взгляд, должна пролегать между Теорией Отдельной Отрасли или Фирмы, где рассматриваются вознаграждения факторов и распределение ресурс между различными способами использования данного их количества, и Теорией Производства и Занятости в целом. Пока мы ограничиваемся исследованием отдельной отрасли или фирмы, предполагая постоянным общее количество используемых ресурсов, а также допуская временно, что условия в других отраслях или фирмах остаются неизменными, нам, правда, не приходится иметь дело со специфическими особенностями денег. Но как только мы приступаем к выяснению того, чем же определяются объем производства и занятость в целом, нам необходима законченная теория Денежной Экономики.
По Смиту, рыночный автоматизм может оптимизировать распределение ресурсов . В отличие от распространенного мнения, будто частный интерес идет вразрез с интересами общества, Смит доказал, что децентрализация и свободная конкуренция способны обеспечивать максимальное удовлетворение потребностей . Свободная конкуренция стремится приравнивать цены к издержкам производства , оптимизируя распределение ресурсов внутри отраслей, а на рынках факторов производства - уравнивать чистые преимущества этих факторов во всех отраслях и тем самым устанавливать оптимальное распределение ресурсов между отраслями. Это был первый шаг к теории оптимизации распределения ресурсов в условиях совершенной конкуренции.
При этом необходимо учитывать, что прибыль, о чем говорилось ранее, имеет, во-первых, два определения (в бухгалтерском учете и в экономической теории), во-вторых, различные значения прибыль как неявный доход, получаемый фирмой за счет использования собственных факторов производства прибыль как вознаграждение за предпринимательский риск и нововведения (которая включается в экономические издержки) прибыль как монопольный доход в условиях несовершенной конкуренции . Каждое из приведенных значений прибыли обусловлено разнообразием ее источников, включающих соответственно альтернативность использования вмененных издержек, неопределенность в экономической среде и инновационной деятельности , наличие рыночной или монопольной власти над ценой. Прибыль, таким образом, выступает своего рода катализатором развития экономики, стимулом рационального распределения ресурсов , побудительным мотивом накопления капитала.
Среди важнейших классов задач И.о. можно назвать задачи управления запасами, распределения ресурсов и задачи назначения (распределительные задачи), задачи массового обслуживания , задачи замены оборудования , упорядочения и согласования (в том числе теории расписаний), состязательные (напр., игры), задачи поиска и др. Среди применяемых методов -математическое программирование (линейное, нелинейное и т.п.), дифференциальные и разностные уравнения , методы теории графов , марковские процессы , теория игр, теория (статистических) решений, теория распознавания образов и ряд других.
М. иногда называют теорией цен, поскольку ее предметом является механизм распределения ресурсов , а в рыночной экономике основным инструментом такого распределения служат цены.
В одном из них, работе Л.В.Канторовича "Математические методы организации и планирования производства " (1939 г.), были впервые изложены принципы новой отрасли математики, которая позднее получила название линейного программирования , а если смотреть шире, то этим были заложены основы фундаментальной для экономики теории оптимального распределения ресурсов . Л.В. Канторович четко сформулировал понятие экономического оптимума и ввел в науку оптимальные, объек-
Правило тождества эффекта" 280 "Преинституциональная" теория распределения ресурсов 301 "Прибор" 138 Признак оптимальности 71 "Принимающие цену" фирмы 390 "Принцип недостаточного основания" 112 "Природа" 281 "Продуктивная матрица" 189
Теории распределения ресурсов и формирования доходов в учебни микроэкономического анализа излагаются в рамках раздела Рынки ф торов производства. Общий план рассмотрения проблем в данном раз, ле остался неизменным со времени выхода в свет книги А. Марша Принципы экономической теории рынок труда , рынок капитала и рьи земли. Спрос на факторы со стороны фирм традиционно связываете предельным продуктом этих факторов, а предложение - с ожидаемым щ дельным доходом. Традиционно в учебниках рассматривается эластично спроса на каждый фактор, которая зависит как от взаимозаменяемое так и от взаимодополняемости факторов по технологии.
Или, может быть, мы могли бы провести деление между теорией стационарного равновесия и теорией подвижного равновесия, подразумевая под последней теорию системы , в которой меняющиеся представления о будущем способны оказывать влияние на нынешнее положение. Важность денег в основном как раз и вытекает из того, что они являются связующим звеном между настоящим и будущим. Мы можем анализировать, какое распределение ресурсов между различными видами использования совместимо с равновесием при действии нормальных экономических мотивов в мире, в котором наши представления о будущем неизменны и во всех отношениях надежны, причем возможно и дальнейшее деление между неизменяющейся экономикой и экономикой, подверженной изменениям, но где все события предвидятся с самого начала . С другой стороны, мы можем перейти от этой упрощенной модели к проблемам реального мира, в котором наши предварительные расчеты на будущее могут оказываться несбыточными и где предположения на будущее влияют на то, что мы делаем сегодня. Именно тогда, когда мы совершаем этот переход, в наши выкладки должны войти деньги с их особыми свойствами связующего звена между настоящим и будущим. Но хотя теория подвижного равновесия должна обязательно быть выражена в терминах денежной экономики, она остается теорией стоимости и распределения, а вовсе не обособленной "теорией денег". Деньги по своему существу являются прежде всего хитроумным средством связи между настоящим и будущим. Поэтому даже приступить к выяснению влияния меняющихся представлений о будущем на нашу текущую деятельность нельзя иначе, как в денежных терминах. Мы не можем избавиться от денег, даже уничтожив золото, серебро и другие законные платежные средства . Специфические проблемы денежной экономики будут возникать до тех пор, пока существуют какие бы то ни бьто ЯКФИБЫ длительного пользования, способные взять на себя функцию
Коронным достижением аксиоматического подхода является теория совершенной конкуренции . Невзирая на то, что она была впервые предложена около двухсот лет назад, она ни разу не была превзойдена усовершенствован был только метод анализа . Теория утверждает, что при некоторых, вполне определенных обстоятельствах неограниченное стремление к удовлетворению собственных интересов приводит к . Точка равновесия достигается, когда уровень производства компании таков, что предельные затраты равны рыночной цене товара, а каждый потребитель при покупке получает такое количество товара , что его общая предельная "полезность" равна его рыночной цене . Исследования показывают, что состояние равновесия максимизирует выгоды всех участников при условии, что ни один покупатель или продавец не может повлиять на рыночные цены . Именно этот способ рассуждении послужил теоретической основой для политики полной свободы действий - laissez faire, доминировавшей в девятнадцатом веке, а также служит основой современных представлений о "магической силе рынка".
Мировая капиталистическая система поддерживается идеологией, которая коренится в теории совершенной конкуренции . Согласно этой теории, рынки стремятся к равновесию, а равновесное положение означает наиболее эффективное распределение ресурсов . Любые ограничения свободы конкуренции снижают эффективность рыночного механизма, поэтому им следует противиться. Выше я охарактеризовал такой подход как идеологию свободного рынка (laissezfaire), но рыночный фундаментализм - более удачный термин. Дело в том, что фундаментализм предполагает своего рода веру, которую легко довести до крайностей. Это - вера в совершенство, вера в абсолют, вера в то, что любая проблема должна иметь решение. Фундаментализм предполагает наличие авторитета, обладающего совершенным знанием, даже если это знание недоступно обыкновенным смертным. Таким авторитетом является Бог, а в наше время его приемлемым заменителем стала Наука. Марксизм претендовал на наличие научной основы точно так же поступает рыночный фундаментализм . Научная основа обеих идеологий сложилась в XIX веке, когда наука все еще сулила обладание окончательной истиной. С тех пор мы многое осоз-
Поп пер атаковал марксизм и фрейдистский психоанализ на том основании, что эти теории, как и многие другие, провозглашали себя научными, но их ложность не могла быть доказана путем испытаний следовательно, их претензии были необоснованными. Я соглашаюсь с этим, но я пойду еще дальше. Я думаю, что аргумент, который он использовал против марксизма, также относится к таким многоуважаемым теориям, как теория совершенной конкуренции , которая провозглашает, что при определенных условиях неограниченное следование личным интересам ведет к наиболее эффективному распределению ресурсов . Я не хочу разрушать экономику я думаю, что это очень элегантная теоретическая конструкция. Я ставлю под вопрос ее применимость к реальной жизни и я не уверен, выдержит ли она испытание на финансовых рынках . Я полагаю, что деятельность Quantum Fund сама по себе доказывает ложность теории случайных блужданий.
Основателем данной теории является английский философ И. Бентам (1748-1832), считавший, что. у философии нет более достойного занятия, чем оказывать поддержку экономике в повседневной жизни2. Для утилитаристов удовольствие представляет собой цель всякого действия, а этика сводится к оптимальному распределению ресурсов ради цели наибольшего удовольствия. Они убеждены в
Д. р. - фундаментальное понятие современной экономической науки , в отечественную науку впервые привнесенное сторонниками
До середины ХХ в. экономисты-теоретики игнорировали математические модели исследования. Однако, несмотря на притеснения, математики продолжали работать и достигли блестящих результатов. Среди них - представители математической школы Л. Канторович и Т.-Ч. Купманс.
Канторович (Kantorovich) Леонид Витальевич (1912-1986) - советский экономист, лауреат Нобелевской премии (1975).
Теория оптимального распределения ресурсов - теория, которая предусматривает формулирование статистической и динамической моделей текущего и перспективного планирования использования ресурсов на базе новых математических подходов в сфере системного построения экономических показателей, используемых для анализа ценообразования, эффективности капитальных вложений.
Впервые основы теории оптимального распределения ресурсов он изложил в работе «Математические методы организации и планирования производства» (1939). В ней он представил принципиально новый класс экстремальных задач с ограничениями, разработав эффективный метод их решения. Именно в это время ученый сформулировал задачу составления плана и системы цен как взаимозависимых компонентов неделимой двойственности. Ведь время невозможно одновременно минимизировать издержки и максимизировать результаты. Одновременно эти два подхода взаимосвязаны: если найдем оптимальную схему перевозок, то ей соответствует определенная система цен. Если определим оптимальные значения цен, то сравнительно легко получить схему перевозок, что соответствует требованиям оптимальности.
Основой этой теории является метод линейного программирования. Линейное программирование - решение линейных уравнений (уравнений первой степени) путем сложения программ и внедрения разных методов их последовательного решения, что существенно облегчает расчеты и достижение результатов.
Л. Канторович обосновал экономическую сущность предлагаемых им решающих множителей. Они, собственно, являются предельными стоимостями ограничивающих факторов. То есть это объективные цены каждого из факторов производства относительно условий конкурентного рынка. Для решения задачи на оптимальность ученый использовал метод последовательных приближений, последовательного сопоставления вариантов с выбором наилучшего в соответствии с условиями задачи.
Задачи линейного программирования были известны еще в конце ХVIII в. Однако начали решать их только после публикаций работ Л. Канторовича. В США исследования по линейному программированию начались только в конце 40-х годов ХХ в. Транспортная задача Хичкока и симплекс-метод Данцига, которые близки по характеру к методу решения задач линейного программирования Канторовича, были разработаны на десятилетие позднее.
Целостность мышления проявлялась во всем творчестве Канторовича. Идеи линейного программирования были тесно связаны с его методологическими установками в области математики. В середине 1930 годов центральное место в математических исследованиях Канторовича занимал функциональный анализ.
Труды Канторовича заложили фундамент теории оптимального планирования социалистической экономики, вплоть до конца 80-х годов широко используемой в практике планирования экономического развития в СССР, а также в других социалистических странах. Основные идеи теории оптимального планирования изложены в монографии "Экономический расчет наилучшего использования ресурсов" (1959, 1960), являющейся наиболее известной работой ученого. Стержнем этой книги являлась формулировка основной задачи производственного планирования и динамической задачи оптимального планирования. Указанные задачи формулировались достаточно просто, но они учитывали основные черты планирования в советской экономике.
Похожая информация:
- amp; 1. Понятие следственного эксперимента, его видыи значение
Князева А., Лыкова Н.П.
ГОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет»
Филиал в г. Самаре
постановка Задач линейного программирования и их решение с помощью msexcel
Временем рождения линейного программирования принято считать 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Поскольку методы, изложенные Л.В.Канторовичем, были мало пригодны для ручного счета, а быстродействующих вычислительных машин в то время не существовало, работа Л.В.Канторовича осталась почти не замеченной.
Свое второе рождение линейное программирование получило в начале пятидесятых годов с появлением ЭВМ. Тогда началось всеобщее увлечение линейным программированием, вызвавшее в свою очередь развитие других разделов математического программирования. В 1975 году академик Л.В.Канторович и американец профессор Т. Купманс получили Нобелевскую премию по экономическим наукам за "вклад в разработку теории и оптимального использования ресурсов в экономике".
Было осознано, что надо научиться решать задачи о нахождении экстремумов линейных функций на многогранниках, задаваемых линейными неравенствами. По предложению Купманса этот раздел математики получил название линейного программирования.
Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода). Идеи линейного программирования в течении пяти шести лет получили грандиозное распространение в мире, и имена Купманса и Данцига стали повсюду широко известны.
Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.
Линейное программирование - наиболее разработанный и широко применяемый раздел математического программирования.
Круг задач, решаемых при помощи методов линейного программирования достаточно широк:
задача об оптимальном использовании ресурсов при производственном планировании;
задача о смесях (планирование состава продукции);
задача о нахождении оптимальной комбинации различных видов продукции для хранения на складах (управление товарно-материальными запасами или "задача о рюкзаке");
транспортные задачи (анализ размещения предприятия, перемещение грузов).
Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.
В общем виде модель записывается следующим образом:
целевая функция: F(x)= c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + cnxn → max(min) (1)
ограничения:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n xn {≤ = ≥} b 1 ,
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n xn {≤ = ≥} b 2 , (2)
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn xn {≤ = ≥} b m ;
требование неотрицательности: x j ≥ 0, j = 1, 2,……, n (3)
При этом a ij , b i , c j (I = 1, 2, ….., m; j = 1, 2,……, n) - заданные постоянные величины .
Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1) при соблюдении ограничений (2) и (3).
Систему ограничений (2) называют функциональными ограничениями задачи , а ограничения (3) - прямыми .
Вектор, удовлетворяющий ограничениям (2) и (3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План, при котором функция (1) достигает своего максимального (минимального) значения, называется оптимальным .
Задачи линейного программирования можно решать вручную, т.е. алгебраически и графически, а можно при помощи MS Excel. Эта программа позволяет быстро и легко решить задачи линейного программирования.
Разберём решение таких задач на конкретном примере:
На звероферме могут выращиваться черно-бурые лисицы и песцы. Для обеспечения нормальных условий их выращивания используется три вида кормов. Количество корма каждого вида, которое должны ежедневно получать лисицы и песцы, приведено в таблице. В ней же указаны общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано зверофермой, и прибыль от реализации одной шкурки лисицы и песца.
| Вид корма | Ежедневное количество корма усл. ед. | Общее количество корма, усл.ед. | |
| Прибыль от реализации одной шкурки, руб. | |||
Определить, сколько лисиц и песцов следует выращивать на звероферме, чтобы прибыль от реализации их шкурок была максимальной.
Запишем математическую модель:
Х шт – лисицы, У шт - песцы
16x+12y - max (1)
Решение данной задачи аналитически сводится к решению системы из трёх неравенств (2-4), выражая значение одной переменной через другую получаем:
х 90 – 1,5у
4(90 – 1,5у) + у 240
6(90 – 1,5у) + 7у 426
х 1 54 х 2 4,5
у 1 24 у 2 57
причём х 2 и у 2 не удовлетворяют решению, т.к. количество зверей не может быть дробным числом.
Следовательно, целевая функция будет равна: 1152
Однако, с помощью MS Excel решение гораздо проще и быстрее.
Для решения задачи в MS Excel, необходимо создать таблицу с исходными данными (рис. 1)
Рис.1 – Таблица с исходными данными (задача на оптимизацию производства)
Затем с помощью встроенных функций MS Excel (=СУММПРОИЗВ) ввести ограничения и целевую функцию (рис.2)
Рис. 2 – ограничения и целевая функция
После того, как все ограничения и целевая функция введены, следует воспользоваться встроенной программой MS Excel Поиск решения (рис. 3), в которой также вводятся целевая функция, ограничения, а также изменяемые ячейки (т.е. неизвестные переменные).
Рис. 3 – Поиск решения
Однако прежде чем приступить к решению необходимо также во вкладке параметры поиска решения задать: линейная модель, неотрицательные значения и автоматическое масштабирование (рис. 4)
Рис. 4 – Параметры поиска решения
После завершения ввода всех ограничений и параметров мы получаем искомое решение задачи (рис. 5)
Рис. 5 – Итоговая таблица, с полученным решением
На практике многие экономические параметры (цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке, заработная плата и т.д.) с течением времени меняют свои значения. Поэтому оптимальное решение задачи ЛП, полученное для конкретной экономической ситуации, после ее изменения может оказаться непригодным или неоптимальным. В связи с этим возникает задача анализа чувствительности задачи ЛП, а именно того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение.
Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку. Ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением, – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на область допустимых решений и, следовательно, на оптимальное решение.
Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.
1. Анализ сокращения или увеличения ресурсов:
1) на сколько можно увеличить или уменьшить запас дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?
2) на сколько можно уменьшить или увеличить запас недефицитного ресурса при сохранении полученного оптимального значения ЦФ?
2. Увеличение (уменьшение) запаса какого из ресурсов наиболее выгодно?
3. Анализ изменения целевых коэффициентов: каков диапазон изменения коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?
MS Excel позволяет делать отчет по результатам, который состоит из 3 таблиц:
1 – Целевая ячейка. В ней отображается начальное значение целевой функции и оптимальное (результат).
2- Изменяемые ячейки. В ней отражены исходные значения переменных и результирующие (оптимальные). Если продукт не входит в оптимальное решение (равен 0), то он считается не рентабельным.
3- Ограничения. Кроме имени ограничения, ячейки, в которую вписана левая часть ограничения, в ней отображены столбцы:
Значение – значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Формула – отображается знак ограничения (больше или равно, меньше или равно и т.д.)
Статус – отображено Связанное или не связанное ограничение. Если статус связанное, то ресурс использован полностью. Если же статус – не связанное, то ресурс использован не полностью.
Разница – отображено количество оставшегося не использованным ресурса.
А также отчет по устойчивости, который состоит из 2 таблиц:
1 – изменяемые ячейки. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение – это оптимальный план.
Нормированная (редуцированная) стоимость – показывает, на сколько изменится целевая функция после принудительного включения единицы этой продукции в оптимальный план. Если продукт рентабелен, то нормированная стоимость будет равна 0.
Целевой коэффициент – значения коэффициентов целевой функции.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показывает границы изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение.
2 – Ограничения. Кроме имени переменных и адресов ячеек в ней присутствуют столбцы:
Результирующее значение - значение левой части ограничения при оптимальном плане. Т.е. сколько фактически использовано ресурса.
Теневая цена – изменение целевой функции при изменении дефицитного ресурса на 1 единицу. Теневая цена недефицитного ресурса будет равна 0.
Ограничение Правая часть – запас ресурса.
Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показывает, на сколько можно изменить правую часть ограничения до того момента пока это будет влиять на целевую функцию.
Удобство использования MS Excel для решения задач линейного программирования заключается в том, что:
создав один раз таблицу, её можно применять для задач такого же типа изменяя только исходные данные;
все необходимые для решения задачи формулы уже представлены в MS Excel;
решение задачи занимает в несколько раз меньше времени, нежели её же решение вручную;
точность решения гораздо выше, чем вручную, а погрешности сведены к минимуму.
Единственным минусом решения задач линейного программирования с помощью MS Excel может быть: отсутствие полного решения, т.е. поиск решения сразу выдаёт готовый ответ, не показывая все вычисления, что в принципе не является целью решения задачи.
Список литературы:
А.Г.Трифонов. Примеры решения оптимизационных задач // 2008
Попова Н.В. Математические методы // М.:ВТК. – 2005
Лыкова Н.П., Князева А ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ИХ РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL // Научный электронный архив.
URL: (дата обращения: 26.12.2019).
